proyecto Ramanujan

EJES TRANSVERSALES DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA TODOS LOS AÑOS DEL SECUNDARIO:

 

Operaciones, Ecuaciones, Inecuaciones y Funciones

 

Omar Cabrera - Daniel Eudave Muñoz

 

 

1º) En el  conjunto de números naturales

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• Símbolo del conjunto de números naturales: N (incluyendo el cero).

 

• Características de N. Función sucesor y función antecesor.

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Operaciones en N 

 

• Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación en N.

 

Observación: "...la matemática de los números es algo más y algo muy diferente del mero hacer operaciones: hay espacio para la curiosidad, para la observación, para el descubrimiento, para la aplicación; para sentirnos bien, en una palabra. Y si nos sentimos así, vamos bien. Porque de esto se trata: de percibirnos a nosotros mismos, a la matemática y a nuestra relación con ella, de otra forma más cercana, más comprensible, más confiada" (Martín Andonegui Zabala,Venezuela). 

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Sugerencia: Potenciación, por Martín Andonegui Zabala,Venezuela.

 

• La semirrecta numérica y la distancia entre números naturales. El orden en N.

 

• Explicitación de las operaciones prioritarias. Nomenclatura básica para: adición, sumando; sustracción, minuendo, sustraendo; multiplicación, factor; división exacta, dividendo, divisor; potenciación, base de la potenciación, exponente; radicación exacta, radicando, índice; logaritmación, logaritmando o argumento, base de la logaritmación  . Convenciones de orden de resolución.

 

Observación: para economizar conceptos, por ahora no utilizaremos la palabra "término": con "sumandos", "minuendos" y "sustraendos", elementos que prestigiamos como parte de la nomenclatura básica imprescindible, es suficiente.

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• Uso de la calculadora científica.

 

• El cero: beneficios y problemas que provoca desde su aparición. 

 

• Características funcional y binaria de las operaciones (NxN en N): operamos siempre "de a dos".

 

Sugerencia para estudiantes: ¿Cuáles son los sumandos en 6+3-2+10:5? ¿Y en A+B-C+D:E?

 

• Propiedades de las operaciones mencionadas: conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, monotonía, uniformidad, distributividad. Supresión e intercalación de paréntesis en adiciones y sustracciones sucesivas y en multiplicaciones y divisiones exactas sucesivas.

 

Sugerencia: es importante demostrar y aplicar a+(b-c)=a+b-c y (a-b).(c-d)=ac-ad+bd-bc, como hacen Leopoldo Varela y Juan Foncuberta en su obra monumental Matemática I, Magisterio del Río de la Plata, Buenos Aires, 1987. 

 

• Divisibilidad en N. Números primos. Divisor común máximo (algoritmo de Euclides) y múltiplo común menor. Demostración de algunas propiedades (teoremas), a efectos de que el estudiante logre conocer y apreciar el método deductivo de la matemática. El número 1729 de Hardy-Ramanujan. Los números Taxicab.

 

Sugerencia: New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers, Christian Boyer, Francia.

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• Elementos de estadística descriptiva: estudios de carácter cualitativo y cuantitativo (variables discretas). Tabulación y graficación de frecuencias absolutas y acumuladas. Medidas de tendencia central: modo, moda y media aritmética (siempre en N) en series simples y en distribuciones de frecuencias absolutas y acumuladas tabuladas.

 

Observación: Sobre la adecuada contextualización inicial y la resolución de problemas: "Las situaciones que dan sentido a la estadística descriptiva son las puertas por las cuales el alumno puede llegar a la comprensión de los conceptos estadísticos" (Daniel Eudave Muñóz).

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Sugerencia: El aprendizaje de la estadística en estudiantes universitarios de profesiones no matemáticas (Daniel Eudave Muñóz).

 

 

Ecuaciones en N

 

• La ecuación como pregunta. Resolución mediante métodos experimentales: ensayos sucesivos, recorrido de caminos inversos, inductivos ("de lo particular a lo general") y analógicos ("de lo particular a lo particular"), aplicación de propiedades uniformes, aplicación de las definiciones de las operaciones (en la práctica, "pasajes numéricos") y resolución mediante la interpretación de cada miembro de la ecuación como una función implícita (solo para ecuaciones "de primer grado" y mediante la confección de tablas).

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• Resolución de problemas planteados en lenguaje coloquial mediante ecuaciones. Integración de diversos contenidos en los problemas a resolver (más valen pocos problemas que generen niveles de análisis de cierta complejidad y toma de decisiones "con riesgos considerables", que muchos problemas parecidos que sugieran acciones rutinarias). 

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Inecuaciones en N 

 

• La inecuación como pregunta. Resolución mediante métodos experimentales, inductivos y analógicos, aplicación de las definiciones de las operaciones (en la práctica, "pasajes numéricos") e interpretando cada miembro como una función implícita (solo para inecuaciones "de primer grado" y solo mediante la confección de tablas). Ecuaciones literales.

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Funciones en N 

 

• La función como lenguaje natural de la matemática: su incorporación desde el comienzo (funciones sucesor y antecesor, las frecuencias absoluta y acumulada, por ejemplos), aunque su profundización amerite un capítulo aparte.

 

• Dominio Natural e Imagen Natural en el referencial N. Otros conjuntos dominio e imagen.

 

• Pares ordenados. Variables dependiente e independiente. Graficación en sistemas cartesianos ortogonales. Resolución de problemas mediante la graficación y el análisis funcional. 

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2º) En el conjunto de números enteros

 

• Símbolo del conjunto de números enteros: Z.

 

• Características de Z. Función sucesor y función antecesor.

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Observación: No aplicamos el método de construcción "genético" de los distintos conjuntos numéricos (o sea, N no está incluido en Z). N y Z son disjuntos. Ni siquiera el cero es el mismo. A la pregunta "¿cuál es el número 2 de la calculadora?" respondemos: si trabajamos en N, es el 2 natural, si lo hacemos en Z, el entero positivo +2.

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Características fundacionales de los números enteros:

• Característica fundacional 1 (c.f.1):  Para que se puedan resolver en Z+ las operaciones que se resuelven en N, conservando las mismas convenciones, propiedades y definiciones, cada número entero se comporta como un determinado número natural, a saber, el entero +1 como el 1 natural, el +2 como el 2 natural y así sucesivamente.  Además, el cero entero se comporta como el cero natural; ambos se simbolizan de la misma forma. Entre esos pares de números de igual comportamiento se establece una correspondencia biunívoca; por ejemplo, al +8 le corresponde el 8 y al 8 le corresponde el +8.

• Característica fundacional 2 (c.f.2):  Las propiedades conmutativas, asociativas, distributivas, uniformes y las convenciones de orden de resolución de las operaciones de los números pertenecientes a Z+ se hacen extensivas a todo el conjunto de números enteros. Lo mismo ocurre con la definición de división exacta.

• Característica fundacional 3 (c.f.3):  En Z pueden resolverse todas las sustracciones, para lo cual se conserva su definición, pero no es necesario que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo, como ocurre en N.

 

Operaciones en Z: La recta numérica y la distancia entre números enteros [¿Cuál es la distancia entre 10^12 y 10^11?; ¿y la distancia entre -10^12 y 10^11?]. El orden en Z. Números opuestos (B es el opuesto de A si y sólo si d(B;0)=d(A;0) con A y B distintos o A=B=0). La sustracción como operación generadora en Z, asociada a la distancia: d(A;B)=A-B si A>B o A=B y d(A;B)=-(A-B) si A<B. Módulo o valor absoluto de un número entero. El "signo menos" de sustracción y el de los números negativos: objetos matemáticos diferentes. La adición en Z a partir de la definición de sustracción. Multiplicación y división exacta en Z: justificación de las "reglas de los signos" a partir de la conservación de las propiedades distributivas. Potenciación, radicación exacta y logaritmación en Z. Uso de la calculadora científica.

Estadística descriptiva: ejercicios y problemas en los que se apliquen los conceptos estudiados en N, pero que requieran el referencial Z.

 

Ecuaciones en Z:  Resolución mediante comparaciones con modelos sencillos de iguales estructuras, creados ad hoc en N. Otros métodos: aplicación de propiedades uniformes (el más resistido por los alumnos) y el pasaje de números de un miembro a otro de la ecuación, fundamentado, cada uno de ellos, por las definiciones de sustracción, división exacta y radicación en Z. Propiciamos que cada estudiante adopte el método que más se adecue a su formación y gustos, realice una combinación de los estudiados o construya un método propio con la condición imprescindible de que lo pueda fundamentar. A diferencia de lo sugerido en N, luego de ensayar el uso de tablas interpretando cada miembro de la ecuación como una función implícita, proponemos aquí la resolución de ecuaciones de primer grado, con la incógnita en ambos miembros, mediane la aplicación, cuando sea posible, de propiedades distributivas de la multiplicación con respecto a la adición y a la sustracción. Resolución de problemas: para una persona en determinada situación un "ejercicio" puede ser un "problema" y un "problema" un "ejercicio". Por otro lado, la búsqueda desesperada de la contextualización produce tantos problemas didácticos innecesarios e irrelevantes como su carencia total.

 

Inecuaciones en Z: Justificación de la inversión del signo de la desigualdad cuando se realiza el "pasaje" de un miembro a otro de un factor negativo o un divisor negativo, o la aplicación de las propiedades dem monotonía del conjunto Z. Inecuaciones con módulo. 

 

En construcción